BS期权定价模型学习笔记2020-11-20
炒股有很多细分领域，选票往往要把PE、PB、基本面搞清楚，同时多了解研报已确定自己在正确的赛道，然后买定离手，像但斌、巴菲特一样做股市的长期净买入者；趋势投资要对数据足够敏感，如果文明进程就是历史不断的自我重复，那像洪灏一样时不时把现在跟过去做比照，总会有些不一样的发现；而衍生、风控跟量化，则是应用数学繁荣发展之地，那些高数跟概率论生涩的经典公式，被应用在金融领域而且能够自圆其说、表达出实际含义（褒义），你只能由衷佩服两类大师：发明经典数学公式的人-天选之子、以及能把金融现象用数学公式描述出来的人-应用天才，他们联手创造的体系描述了特定领域的运作规律，却又能把你带入先有鸡还是先有蛋的迷思，而这已然升华到哲学范畴。
在金融数学领域，非常经典的一个模型即是Black-Scholes-Merton期权定价模型，亦称BS期权定价模型，BS公式(看涨期权)如下：
C: 期权定价
S:当前股价
K:合约交割价格
N:正态分布累计概率
T:合约时长
r:连续复利
d1,d2:正态分布概率累计起始点
Black-Scholes-Merton期权定价模型由三位经济学家名字命名，因为在衍生品定价方面的贡献，Scholes跟Merton在1997年被授予了诺贝尔经济学奖，而Black因为在1995年不幸与世长辞，错过了本该属于他的荣誉。
这个公式包含着大量严谨的数学推导，但对我们而言初看肯定是一头雾水，作为非专业的爱好者，花了一些时间去学习这个公式由来，也谈谈自己的学习心得，希望能够用我们现有的金融跟数学常识，把这个公式理解三分。
1.什么是期权和什么是期权定价
期权是金融衍生产品，分为看涨期权（call option）与看跌期权（put option）两类，两种期权又都根据买卖角色分为买入和卖出，因此一共细分为四类：买入看涨期权（long call），卖出看涨期权（short call），买入看跌期权（long put），卖出看跌期权（short put）。拿call option说明（put option就是反向操作），long call与short call就是我们常说的对手盘，或者对赌盘。买方跟卖方拟定一张合约，写明买方可以在哪一天以多少价格向卖方买入哪只股票，买方具有权利而没有义务，即可以撕约，而卖方具有义务，即如果买方要履约，卖方必须执行。可以看出，卖买双方的权利是不对等的，因此，在合约拟定的时候，买方以每股为单位向卖方支付对应的权益金。
而每一股应该支付多少权益金，即期权定价，也是BS期权定价模型要做的事。
2.鞅论与如何期权定价
当一张合约（call option）被执行，那买方每股能赚到的收益即
T时刻的股价不确定，因此收益是个期望值
再说说什么是鞅论，它在概率论里面有着比较复杂的定义
已知过去某一时刻s以及之前所有时刻的观测值，若某一时刻t的观测值的条件期望等于时刻s的观测值，则称这一随机过程是鞅
说说它在金融学里面的应用，我们知道同一份资产他的当前价值跟未来价值是不一样的，比如我放银行里100块钱，一年后它算上利息可能就是101块。那反推之，未来价值S（T）的资产，它就有一个对应的当前价值S（0）即为鞅。若年利率R，就有
如果是复利，年利率为r，每年分m次给
若每时每刻都是给利息，即当m->∞时
因此未来资产的折现价就是
r即连续复利率，也就是BS计算公式里的r。因此，就有了BS定价模型的核心思想：期权价格应该是行权日收益期望对应的折现价
再补充一下，基于call option的特点，行权日如果股价小于行权价格，买方肯定是不会行权的，因此上述公式更严谨的写法是
表示该公式成立的条件是S(T)>K。BS模型即是基于它进行的进一步的推导。
3.布朗运动与伊藤引理
得到上一节的原型之后，接下来的问题其实就变成求解S(t)的表达式，进而才有机会得到E(S(T) - K)(S(T) > K)的期望。（r可以根据年化率进行换算得到，K是定值）。但股票走势本身就是不可预测的，期望又如何计算呢？因此，BS模型给出了自己框架中核心的假设：
处于风险中等测度，股票收益率变化符合随机微分方程（网上有些资料也说股票收益率满足对数正态分布，是一个意思）
从现在开始，我们要一点一点把高数跟概率论的一些基础知识捡回来一些。那什么是随机微分方程，先从布朗运动说起， 布朗运动简单概括：起始位置为0，任意△t内，运动的分布满足期望为0，方差为△t的正态分布N(0,△t)。
而后，人们对布朗运动进行了延伸，得到了一个带漂移量的布朗运动：
如果改成无限小时间区间内的增量形式，即上面所说的随机微分方程
随机微分方程从字面上理解，即该随机过程的瞬时增量可以拆分为一个稳定增量+布朗运动随机增量。而BS的模型的核心假设即收益率增量满足随机微分方程为
我觉得这里比较容易弄错的是增量是指收益率增量，而非收益增量，这个是符合常识的，因为随着股价价格不同，瞬时的价格变化肯定是不同的，说的极端一点，三千美元一股的亚马逊瞬时都以元变化，而几十美元的蔚来还只能以分变化，而收益率能刨除股价这个因素，这也是为什么我们看的分时图所标记的涨跌幅都是百分比，而非实际价格。
我们再看下上述公式，你会惊喜的发现，在经典微积分里面有
那岂不是
这里就要敲黑板了，若f(t, W(t))为包含了布朗运动连续平滑函数，布朗运动包含跳变的，在经典微积分体系里就是处处不可微，也就是说ln(S(t))并不能这样微分。
因此，到这里就轮到我们的伊藤引理出场了，伊藤引理即对一个包含布朗运动随机过程的连续平滑函数f(t, B(t))进行微分，也就是能对上述ln(S(t))这种函数进行微分。
这里就不细讲伊藤引理的推导过程了，大概的过程：我们知道一个函数的微分，根据泰勒公式可以展开为一阶导与增量的乘积 + 二阶导与增量平方与系数的乘积+…，增量趋近于无穷小，二阶导及以后项均可忽略，即传统微积分里面的函数的微分等于一阶导与增量的乘积，但是随机微分方程的泰勒展开中，由于二次变分，当增量无穷小dB的平方等于dt，泰勒展开的第二项不可抹去，最后就有了
可简单理解为相比于经典微分，包含布朗运动的连续平滑函数的微分多了一项
对于一般连续函数的微分有
所以f(t, B(t))的微分方程为，即伊藤引力的一般式
（最后得二阶偏导推导已经超过一名非专业爱好者能够掌控的范畴，所以最后只能照本宣科说下结论，希望哪位大神能够跟我说说求解的过程）
4.S(t)进一步推导
写到这里我有点心虚了，虽然我只想把大神们的推导大致过程搞清楚，尽量省去繁琐严谨的推导细节，但即使如此，都让我费了不少神码了不少字，并且距离最终的BS模型还有一定距离！硬着头皮继续吧。
根据上面我们所说的，ln(S(t))也是一个带漂移的布朗运动，同时我们将μ用r替代
如此，我们就得到了S(t)的计算式。
5.BS公式的最终推导
我们再回看BS公式的原型
当t=T，由于S(T)包含了B(T)，B(T)为布朗运动，由布朗运动性质可知，T时间内它服从N（0，T）的正态分布，即
为了让后面概率的计算更加方便，可以把上述式子变形成标准正态分布，即满足N（0，1）,根据布朗运动的性质有
所以E（S（T） - K）就为
这里P(x)满足N（0，1）的大名鼎鼎的标准正态分布的概率密度函数。
但是注意，我们回顾一下之前所说的，这个期望成立的条件是S(T)>K，所以要有
有
这个值即BS公式里面的d2的负数
而正态分布里面大于-d2的累计概率即等于小于d2的累计概率(用N(d2)表示)，所以
BS公式里面我们已经把右边的那一项算出来了，接下来就剩下左边了。我们把公式原型里面的折现系数e^-rT也拿进来再一起相乘，同时令
计算过程就不罗列出来了，你会发现e的指数除了x^2那一项，其余项全部神奇的抵消了，即左边那一项也变成了常系数乘以某一区间的正态分布累计概率。而刚才上式其实相当于整个概率密度函数左移了σ乘以根号T，即左侧项积分的起始点
即BS公式的d1的负数，所以最终BS公式最终形态就得到了
6.感悟
学习BS模型更多是兴趣使然，最开始我只想把期权里面的那几个参数（delta, gamma, vega, theta）搞清楚，其中delta是期权价格相比于股票价格的变化率，按照我最初的理解，期权价格一旦进入价内，股票每变化一块钱，期权价格也应该变化一块，delta应该趋近1，但是实际情况却是期权价格与股价相近时，delta是趋近于0.5的。
先仔细从常识上去思考，当期权价格与股价接近，股价高于期权价格就如同抛硬币确实只有0.5。从BS公式可以看出，delta实际就是公式里面的△C/△S，其实就是N（d1），而此时数学上计算d1趋近于0，正态分布累计概率确实趋近于0.5。
可以说BS模型大道至简，回归到了一个价格=期望价值-期望成本的公式，朴实无华却实用，对衍生品的定价有着重要意义。 但当深入这个公式的推导，不得不对金融工程这个领域刮目相看，对数学要求之高-高等数学、概率论与随机过程、线性代数那可真是一个不落。换个角度来看，倘若把应用数学学好，各行各业都有机会冲刺下金字塔。
这就是数学的魅力，它能用公式把一个现象给描述出来，同时还能非常契合常识。向这些伟大的前人们致以诚挚敬意。
金融的魅力也源于此，数学公式严谨而客观，可透过概率与期望的却是人性贪婪的博弈，如果说股市还可以冠冕堂皇的以践行价值来自诩、以输血实体来美化，那衍生品市场就索性把这层外衣给扔掉，一个纯粹的赌场。
7.参考
整个模型学习源于网上的资料：
Black-Scholes期权定价模型
布朗运动、伊藤引理、BS 公式（前篇）
Black-Scholes 模型中 d1，d2 是怎么得到的？如何理解 Black-Scholes 模型？